Un quart de cercle de rayon 1 est inscrit dans un carré de côté 1. Prenons un point au hasard dans le carré. Deux situations sont possibles : soit il se trouve à l’intérieur, soit il se trouve à l’extérieur du quart de cercle. Il se trouve à l’intérieur avec une probabilité égale au rapport entre les surfaces respectives du quart de cercle et du carré (Pi/4). En prenant plusieurs points, nous pouvons nous approcher du nombre Pi. Pour ouvrir le projet dans une autre fenêtre cliquer ici.
Lançons 100 points. Lançons 500 points. Lançons 1000 points. Plus le nombre de points est grand, plus l’estimateur de Monte-Carlo du nombre Pi ainsi créé (rapport entre le nombre de points dans le quart de cercle et le nombre total de points) est précis. Il est intéressant de remarquer et de démontrer que le gain de précision est inversement proportionnel à la racine du nombre de points considérés. Pour gagner une décimale dans notre approximation du nombre Pi, il est nécessaire de lancer 100 fois plus de points. Cette remarque caractérise la vitesse de convergence de notre algorithme. Pour ouvrir le projet dans une autre fenêtre cliquer ici.
Au centre de nos discussions précédentes, le rapport entre la surface du quart de cercle de rayon 1 et celle du carré de côté 1. Pour le carré, aucun problème : 1 obtenu comme produit de 1 par 1. Pour le quart de cercle, nous l’avons dit, Pi/4. Pourtant, ce résultat simple en apparence, n’est pas trivial. Pourquoi et comment le nombre Pi, qui par définition est le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle, se retrouve-t-il dans l’expression de la surface d’un disque ? Nous proposons ci-dessous deux approches. La première, très intuitive, ramène le problème à la surface d’un rectangle. La deuxième, analytique, fait intervenir la notion d’intégrale et donc de recherche de primitive d’une fonction irrationnelle. Pour ouvrir les projets cliquer ici et là.