Le point de Steiner minimise la taille du réseau reliant trois points. Où se situe-t-il ? Pour répondre à cette question nous ferons appel à la rotation de centre A et d’angle 60°. Elle transforme S en S’. Elle transforme B en B’. La nature équilatérale du triangle ASS’ et le fait qu’une rotation soit une isométrie nous permettent d’affirmer que CS+SA+SB=CS+SS’+S’B’. Le plus court chemin entre deux points étant la ligne droite, la recherche de la position de S, point de Steiner, se résume à la recherche d’alignement des points C, S, S’ et B’. Nous le trouvons à l’intersection de trois droites remarquables du triangle : celles qui relient les sommets aux sommets des triangles équilatéraux construits sur chaque côté. Une particularité de ce réseau minimal : les trois angles au centre sont égaux et mesurent 120°.
Comment minimiser la taille d’un réseau reliant quatre points situés aux sommets d’un rectangle ? Entre les positions extrêmes « en H » et « en X », y aurait-il une position intermédiaire qui optimise le réseau ? L’eau savonneuse nous a déjà suggéré la réponse. Le fichier Geogebra proposé ci-dessous et la figure dynamique qu’il contient nous permet de la visualiser à travers l’apparition furtive de deux points de Steiner qui minimisent simultanément la taille du réseau. On observe momentanément l’égalité des trois angles au centre mesurant 120°.
Deux points de Steiner minimisent la taille du réseau reliant quatre points situés aux sommets d’un rectangle de dimensions 2a et 2b. Où se situent-ils ? Pour répondre à cette question, nous noterons 2x la distance séparent ces deux points qui, pour des raisons de symétrie se situent sur la médiatrice des petits côtés. Nous exprimons, en fonction de a, de b et de x la longueur du réseau. Nous dérivons cette longueur par rapport à x. Nous déterminons la valeur de x qui annule la dérivée et en déduisons la longueur minimale du réseau. La valeur de x qui minimise cette longueur nous permet également de retrouver la mesure des trois angles au centre : sans surprise, 120° pour chacun d’entre eux !